In fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da quattro elementi:
- modulo: rappresenta la lunghezza del vettore;
- direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
- verso: il verso è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
- punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale.
- "unità di misura": legata al modulo anche nelle grandezze scalari
Secondo questa definizione, un vettore geometrico non dipende dalla scelta del sistema di coordinate.
Componenti di un vettore:
Scomporre un vettore significa esprimerlo come combinazione lineare (valgono le proprietà della somma e del prodotto per uno scalare viste in precedenza) di altri vettori. Nel piano, dati due vettori non paralleli, un vettore può essere scomposto mediante somma di due vettori paralleli ai due dati, come mostrato in figura; nel caso di vettori nello spazio, la scomposizione avviene in modo del tutto analogo, con l'unica differenza che il vettore viene ora scomposto in tre altri vettori.
In generale, data una base di vettori, un qualsiasi vettore può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base:
dove, in questo caso, gli αi rappresentano le componenti.
La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).
Operazioni con i vettori:
La somma di due vettori a e b è definita come il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b.
La somma gode delle seguenti proprietà:
- a + b è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna);
- (a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa);
- esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto;
- esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore -a che sommato a a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di a, ma verso opposto;
- a + b = b + a (proprietà commutativa).
La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori a - b come somma di a con l'opposto di b.
Moltiplicazione scalare:
Il prodotto di un vettore a per uno scalare k è un vettore che ha la stessa direzione di a, verso positivo se k è positivo e negativo se k è negativo ma modulo uguale a |k||a|. Se |k|>1 il vettore viene dilatato, se |k|<1 il vettore viene contratto.Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà:
(siano m, n scalari e a, b vettori)
- n a è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna);
- (n m)a = n(m a) (proprietà associativa);
- esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'elemento 1;
- (n + m)a = n a + m a (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri);
- n (a+b) = n a + n b (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori).
L'insieme dei vettori gode dunque di tutte le proprietà di spazio vettoriale
Prodotto scalare:
Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)
ove θ è l'angolo formato dai due vettori.
Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori uno scalare. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo , ovvero
.
Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se essi sono tra loro perpendicolari.
Prodotto vettoriale:
Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:
- la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u
- il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di wè tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.
- il modulo di w è definito dalla formula:
Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
- proprietà distributiva rispetto alla somma: (a + b) × c = a × c + b × c
- è anticommutativo: v × u = - u × v
- è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.
- Proprietà associativa rispetto ad uno scalare "λ" : u × (λv) = λ(u × v) = (λu) × (v)
- a × (b × c) = b(a · c) - c(a · b)
- soddisfa l'identità ciclica di Jacobi
Prodotto misto:
Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori a, b, c è del tipo (a × b) · c ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.
Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:- (a × b) · (a × c) = a2(b · c) - (a · b)(a · c)
