Cifre significative e approssimazioni

Il numero di cifre significative di un numero è il numero di cifre che si hanno eliminando tutti gli zeri A SINISTRA, e mantenendo tutti gli zeri A DESTRA. La posizione della  virgola non ha nessuna importanza, dipendendo solo dall’unità di misura utilizzata per scrivere la grandezza.

es. 0,00123 sono 3 cifre significative       001230 sono 4 cifre significative         1340,0 sono 5 cifre significative


Il significato del numero di cifre  significative è quello di dare una  prima informazione sul grado di precisione del numero scritto; l’informazione completa si ha poi dal valore della  σ assegnata alla misura. Se scrivo un numero con 3 cifre significative, p.e. “12,8” , il significato di avere scritto 12,8  è di indicare che l’incertezza sarà sull’ultima cifra (8) e quindi la precisione sarà di circa 1/128 quindi dell’1%. Mentre se avessimo scritto “12,80”, avremmo inteso che l’incertezza era dell’ordine di 1/1280, quindi circa lo 0,1 %. Quindi scrivere 3 oppure 3,0 oppure 3,00 vuol dire aver fatto la misura con una precisione, rispettivamente di 1/3 o 1/30 oppure 1/300, quindi del 30% , del 3% oppure dello 0,3 %. GLI ZERI A DESTRA SONO IMPORTANTI! Sono cifre come le altre.

Anche se le calcolatrici hanno svolto molto del lavoro ingrato delle elaborazioni

matematiche scientifiche, l’uso di questo genere di calcolatori ha fatto sorgere un nuovo tipo
di problema. Le calcolatrici sono generalmente adeguate a manipolare un minimo di otto
cifre nel loro display; la calcolatrice assume che tutti i numeri inseriti hanno questo numero
di cifre significative e danno le risposte con questo numero di cifre. Per esempio, se svolgi
questo semplice calcolo
2 ÷ 3 =  ?
la calcolatrice indicherà la risposta di  0.6666667. Evidentemente se 2 e 3 rappresentano
misurazioni eseguite nel laboratorio con uno strumento che possiede una precisione in grado
di dare solo il valore intero, allora un quoziente simile a 0.6666667 implica una precisione
troppo elevata. Non tutte le cifre nella risposta indicate dalla calcolatrice sono significative.


Addizione e Sottrazione:

Quando sommi e sottrai numeri che sono conosciuti con differenti livelli di precisione, il
risultato dovrà contenere solo il numero di cifre significative indicate dal numero conosciuto
con il minor numero di posizioni decimali. Consideriamo l’addizione:
 20.2354 +
 1.02 +
 337.114 =

Sebbene 20.2354 è significativo alla quarta  cifra decimale, e 337.114 alla terza cifra
decimale, il numero 1.02 è espresso solo alla  seconda cifra decimale. La somma di questi
numeri potrà essere riportata solo con due cifre decimali. Eseguire il calcolo, ma arrotondare
il risultato in modo tale da ottenere solo due cifre decimali:

 20.2354 +
 1.02 +
 337.114 =
 358.3694
Che sarà trascritto come 358.37.


Moltiplicazione e Divisione:
Quando moltiplichi o dividi numeri con precisione differente, il prodotto o il quoziente dovrà

avere solo un numero di cifre significative  pari al numero meno preciso coinvolto nel
calcolo. Per esempio, consideriamo questa moltiplicazione

  (3.2795) (4.3302) (2.1)

Entrambi 3.2795 e 4.3302 sono espressi con cinque cifre significative, mentre 2.1 è espresso
con una precisione considerevolmente inferiore (solo due cifre). Il prodotto di questa
moltiplicazione può essere espresso con solo due cifre significative

 (3.2795) (4.3302) (2.1) = 29.821871 (calcolatrice) = 30.

Anche se la calcolatrice visualizzerà un risultato di 29.821871 come prodotto, questo
risultato dovrà essere arrotondato a due cifre  significative per indicare il fatto che uno dei
numeri impiegati nel calcolo era conosciuto con un basso livello di precisione.

Approssimazione: 

può essere effettuata in due modi:

A)    per “troncamento”, se semplicemente tutte le cifre a destra di una cifra fissata

    vengono sostituite con degli 0: ad esempio

·         il troncamento del numero  alla cifra delle migliaia è 

·         il troncamento del numero  alla cifra dei decimi è 

·         il troncamento del numero  alla cifra dei decimi è ancora .

E’ evidente che il troncamento di un numero assoluto (=senza segno) porta sempre ad una approssimazione

per difetto, ossia alla sostituzione di quel numero con un altro che è minore di quello originario

B)     oppure per “arrotondamento”, che possiamo pensare come la sostituzione del numero

con un altro che gli sia (per difetto o per eccesso) il più possibile vicino. Ad esempio,

l’ arrotondamento del numero  alla cifra delle migliaia è il multiplo di 1000 più vicino, ossia
l’ arrotondamento di  alla cifra dei decimi è il numero con 1 cifra dopo la virgola (=quella dei decimi) più vicino, ossia
l’ arrotondamento del numero  alla cifra dei decimi è il numero con 1 cifra dopo la virgola (=quella dei decimi) più vicino, ossia

       La REGOLA che si applica per l’arrotondamento è la seguente:

♪        se la prima cifra da trasformare in “0” è  0, 1, 2, 3 o 4,

      allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;

♫       se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5 (ma vedi NOTA), 6, 7, 8 o 9,

      allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.

       Altri esempi: l’arrotondamento di 54321 alle decine è 54320; quello di 0,23781 ai centesimi è 0,24

NOTA: l’arrotondamento “del banchiere” (banker’s rounding, o round-to-even method) Se la prima cifra da mutare in “0” è 5, e tale cifra è l’ultima del numero, oppure è seguita solo da “zeri”, allora il passaggio al “valore più vicino” potrebbe essere fatto indifferentemente per difetto o per eccesso, perché ad es. il numero 1,835 ha la stessa distanza sia da 1,83 che da 1,84; tuttavia, nel caso in cui i numeri da sottoporre ad arrotondamento siano tanti, come può accadere quando si sta manipolando una gran quantità di dati sperimentali, si tende a procedere in modo un poco diverso, ossia: se la cifra che precede il 5 è pari, la si lascia invariata, mentre se è dispari, la si aumenta di un’unità. In questo modo, su un gran numero di dati, le approssimazioni per difetto e per eccesso così effettuate tenderanno a “bilanciarsi” (metà circa dei dati verrà arrotondata per difetto e l’altra metà per eccesso), e l’insieme di dati risentirà il meno possibile, globalmente, delle modifiche apportate. Ad esempio, volendo arrotondare ai centesimi i dati 3,875       3,645       3,735     3,865   … , si scriverà  rispettivamente   3,88       3,64       3,74     3,86   … Con il “banker’s rounding”, l’ultima cifra dopo l’arrotondamento sarà sempre pari! (even=pari)

ESEMPIO RIASSUNTIVO 1845,74893 diventa, se è richiesto di ·      arrotondare alle migliaia: 2000 ·      troncare alle migliaia: 1000 ·      arrotondare alle centinaia: 1800 ·      arrotondare alle decine: 1850 ·      troncare alle decine: 1840 ·      arrotondare alle unità: 1846 ·      arrotondare ai decimi: 1845,7 ·      arrotondare ai centesimi: 1845,75 ·      arrotondare ai millesimi: 1845,749 ·      troncare ai millesimi: 1845,748 ·      …

Arrotondamento “normale” o “del banchiere”???  Decidiamo noi, a seconda delle nostre esigenze, quale applicare!  0,725 arrotondato ai centesimi diventa:  0,73 se decidiamo per un arrotondamento “normale”, perché in questo caso la regola ci dice che se la prima cifra da mutare in 0 è 5, allora la cifra precedente viene aumentata di un’unità;  0,72 se decidiamo di fare l’arrotondamento “del banchiere”, perché in questo caso la cifra che precede il 5, essendo pari, deve rimanere inalterata. Abbiamo già detto che si preferisce l’ “arrotondamento del banchiere” di fronte ad un numero elevato di dati statistici.